สรุปคณิตศาสตร์ ม.ปลายเรื่องกราฟของอสมการเชิงเส้น (กำหนดการเชิงเส้น)

กราฟของระบบอสมการเชิงเส้น

ระบบอสมการเชิงเส้น  ประกอบด้วย  อสมการเชิงเส้นมากกว่า  1  อสมการ  คำตอบของระบบอสมการเชิงเส้น  คือ  คู่อันดับ ( x , y )  ที่สอดคล้องกับอสมการทั้งหมดของระบบอสมการ  แทนได้ด้วยบริเวณที่ซ้อนทับกันของกราฟของอสมการทั้งหมด

ข้อสังเกต  เพื่อให้กราฟมีรายละเอียดที่จะเป็นประโยชน์มากขึ้น  ควรหาและระบุจุดตัดแกน X  , แกน Y และจุดตัดกันของกราฟอสมการ

การหาจุดตัดกันของกราฟอสมการ  

1. เปลี่ยนระบบอสมการเชิงเส้นให้อยู่ในรูประบบสมการเชิงเส้น
2. หาจุดตัดกันโดยพิจารณาทีละ  2  สมการ  โดยวิธีการหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น

การหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น  มี  3  แนวทาง  คือ

1. การกำจัดตัวแปรใดตัวแปรหนึ่งให้หมดไป
2. การแทนค่าตัวแปร
3. การเขียนตัวแปรหนึ่งในรูปของตัวแปรอีกตัวหนึ่งทั้ง  2  สมการ

การกำจัดตัวแปรใดตัวแปรหนึ่งให้หมดไป  มีขั้นตอนดังนี้  คือ

1. ทำสัมประสิทธิ์ของตัวแปรใดตัวแปรหนึ่งให้เท่ากันทั้ง  2  สมการ
2. เมื่อสัมประสิทธิ์ของตัวแปรใดตัวแปรหนึ่งเท่ากันแล้ว  ให้นำสมการทั้ง  2  มาลบกันเพื่อกำจัดตัวแปรนั้นออก  ในกรณีที่สัมประสิทธิ์มีเครื่องหมายต่างกัน  ให้นำมาบวกกัน
3. แก้สมการในขั้นตอนที่  2  แล้วจะได้ค่าตัวแปรอีกตัวหนึ่ง
4. นำค่าตัวแปรที่ได้จากขั้นตอนที่  3  ไปแทนค่าในสมการตั้งต้นสมการใดสมการหนึ่ง  
5. แก้สมการหาค่าตัวแปรที่เหลือ
6. ค่าของตัวแปรในข้อ  3  และข้อ  5  เป็นคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น

widget @ surfing-waves.com

การแทนค่าตัวแปร  มีขั้นตอนดังนี้  คือ

1. หาค่าของตัวแปรหนึ่งในรูปของอีกตัวแปรหนึ่งจากสมการใดสมการหนึ่ง
2. นำค่าของตัวแปรที่ได้จากขั้นตอนที่  1  ไปแทนค่าในอีกสมการหนึ่ง
3. แก้สมการในขั้นตอนที่  2  แล้วจะได้ค่าตัวแปรอีกตัวหนึ่ง
4. นำค่าตัวแปรที่ได้จากขั้นตอนที่  3  ไปแทนค่าในสมการตั้งต้นสมการใดสมการหนึ่ง
5. แก้สมการหาค่าตัวแปรที่เหลือ
6. ค่าของตัวแปรในข้อ  3  และข้อ  5  เป็นคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น

การเขียนตัวแปรหนึ่งในรูปของตัวแปรอีกตัวหนึ่งทั้ง  2  สมการ  มีขั้นตอนดังนี้  คือ
1. หาค่าของตัวแปรหนึ่งในรูปของอีกตัวแปรหนึ่งจากทั้ง  2  สมการ
2. ใช้สมบัติการเท่ากัน  ( สมการที่ 1  =  สมการที่ 2 )
3. แก้สมการในขั้นตอนที่  2  แล้วจะได้ค่าตัวแปรอีกตัวหนึ่ง
4. นำค่าตัวแปรที่ได้จากขั้นตอนที่  3  ไปแทนค่าในสมการตั้งต้นสมการใดสมการหนึ่ง
5. แก้สมการหาค่าตัวแปรที่เหลือ
6. ค่าของตัวแปรในข้อ  3  และข้อ  5  เป็นคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น

การแก้ปัญหากำหนดการเชิงเส้นโดยวิธีกราฟ  มีขั้นตอนดังนี้

1. สร้างระบบอสมการจากสถานการณ์ในปัญหา  อสมการทั้งหมด  เรียกว่า  อสมการข้อจำกัด
2. กำหนดฟังก์ชันจุดประสงค์ในรูป    P  =  Ax + By    และตัดสินว่าต้องการหาค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุด
3. เขียนกราฟของอสมการข้อจำกัด
4. เลือกอาณาบริเวณที่เป็นไปได้ของคำตอบ  เซตของจุดที่อยู่ในบริเวณที่แรเงารวมทั้งจุดที่เส้นขอบ เรียกว่า  อาณาบริเวณที่หาคำตอบได้
5. หาพิกัดจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมของอาณาบริเวณของคำตอบที่เป็นไปได้  คำตอบที่ต้องการจะอยู่ที่จุดมุมของรูปหลายเหลี่ยมของอาณาบริเวณที่หาคำตอบได้
6. แทนตัวแปรของฟังก์ชันจุดประสงค์ด้วยพิกัดของจุดยอดต่าง ๆ ในข้อ 5  และพิจารณาผลที่สอดคล้องกับสิ่งที่ต้องการตามข้อ  2  ดังนี้คือ